本项目主要研究了具有不同扩散效应的 K-S 方程组，包括局部与非局部扩散，以及线性与非线性扩散。它们可用于刻画细胞群体运动状态或浓度变化过程。首先，应用 Hardy-Littlewood Sobolev 不等式，重点研究了高维退化扩散抛物-椭圆 K-S 方程组解的最佳初始临界，用以区分该模型解的整体存在与有限时刻 blow-up，并应用最有传输理论证明了此类模型解的唯一性。关于退化扩散抛物-抛物 K-S方程组，我们发现最佳初始临界与 Sobolev 不等式的最佳常数有密切关系。其次，本项目考虑了分数阶扩散 K-S 模型，给出了解整体存在与 blow-up 的最佳初始临界，这是近年来倍受关注的非局部非线性扩散问题。同时，我们应用简单的超压缩性质及半群理论证明了具线性扩散 K-S 方程组解的唯一性。通过具有不同扩散效应 K-S 模型的研究，我们发现扩散效应不同，会使研究模型的方法和处理技巧不同，但它们整体结构是相通的，都借助于泛函不等式的最佳常数给出最佳初始临界。基本达到了申请项目时的预想，找到一个统一的思想，去处理 K-S 方程组问题。进一步，我们将此研究想法应用于来自物理学的薄膜方程。应用一维 Nagy 不等式证明了一维具有长波不稳定项的薄膜方程解的最佳初始临界，并证明了高维具最佳常数的 Nagy 不等式，以给出高维薄膜方程解的最佳初始临界。